Да, вы можете без оплаты привести ребёнка на первое занятие. Если окажется, что занятия ребёнку не подходят, то посещённое занятие можно не оплачивать. Если вы решите продолжать заниматься, то уже посещённое и последующие занятия оплачиваются.

Черновик нужен ребёнку исключительно для удобства, там он пишет так, как нужно именно ему.
Аккуратная запись в чистовиках бывает нужна, если группа отрабатывает новый навык. При этом мы обращаем внимание не на оформление (отступи три клетки влево, две строчки вниз), а на смысл каждого проделанного действия. Мы не заставляем переписывать пример, если он написан в середине страницы, а не в левом верхнем углу. Но если при записи столбиком ребёнок пишет разряды не по правилам, то мы будем добиваться правильного написания.
К домашней тетради стоит относиться так же, как к чистовику – считать строчки и клетки при записи не нужно (если только это не пожелание самого ребёнка), но смысл всего написанного должен быть ясен.

Да, есть. Это обязательная часть кружка по школьной математике. В домашнем задании обычно одно-два задания на отработку технических навыков и одно необязательное задание повышенной сложности для энтузиастов.

Этого мы гарантировать не можем. Мы не готовимся к поступлению, для этих целей вам больше подойдёт специализирующийся на этом репетитор или курсы при школе, в которую вы собираетесь поступать.